Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-m|（m＞0），g（x）=2f（x）-f（x+m），g（x）的最小值為-1．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，且a≠0．求證：f（ab）＞|a|f（$\frac{a}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=|x-m|（m＞0），可得函數(shù)g（x）的解析式，進而構造方程，可得m的值；
（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，要證f（ab）＞|a|f（$\frac{a}$）．即證|ab-1|＞|a-b|平方可得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-m|（m＞0），
∴g（x）=2f（x）-f（x+m）=$\left\{\begin{array}{l}-x+2m，x≤0\\-3x+2m，0＜x≤m\\ x-2m，x＞m\end{array}\right.$，
故當x=m時，函數(shù)取最小值-m=-1，
解得：m=1；
（Ⅱ）證明：要證f（ab）＞|a|f（$\frac{a}$）．
即證|ab-1|＞|a-b|，
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴（ab-1）²-（a-b）²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
即（ab-1）²＞（a-b）²，
∴|ab-1|＞|a-b|，
∴f（ab）＞|a|f（$\frac{a}$）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，函數(shù)的最值，難度中檔．