Question

12．在△ABC中，sinA+sinC=psinB（p∈R），且ac=$\frac{1}{4}$b²．
（Ⅰ）當(dāng)p=$\frac{5}{4}$，b=1時(shí)，求a，c的值；
（Ⅱ）若角B為銳角，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理把題設(shè)等式中的角的正弦轉(zhuǎn)化成邊，解方程組求得a和c的值．
（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的關(guān)系，把題設(shè)等式代入表示出p²，進(jìn)而利用cosB的范圍確定p²的范圍，進(jìn)而確定pd 范圍．

解答 解：（I）由題設(shè)并利用正弦定理，得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\frac{5}{4}}\\{ac=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
故可知a，c為方程x²-$\frac{5}{4}$x+$\frac{1}{4}$=0的兩根，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
（II）由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=p²b²-$\frac{1}{2}^{2}$-$\frac{1}{2}^{2}$cosB，
即p²=$\frac{3}{2}$$+\frac{1}{2}$cosB，
因?yàn)?＜cosB＜1，可得：p²∈（$\frac{3}{2}$，2），p＞0，
所以：$\frac{\sqrt{6}}{2}＜p＜\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了解三角形問題，考查了對正弦定理和余弦定理的公式及變形公式熟練應(yīng)用，屬于中檔題．