Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)是上的減函數(shù) ；（2）見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)f（x）的定義域，并對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，確定f′（x）的正負(fù)，即可確定函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；（2）設(shè)a＞b＞0，分為兩個不等式和．證明不等式時，轉(zhuǎn)化為 ，換元t=>1，轉(zhuǎn)化為 ，通過函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性來證明；證明不等式，轉(zhuǎn)化為 ，換元x=>1，構(gòu)造函數(shù) ，通過函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）的單調(diào)性來證明．

（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）,，所以，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減；

（2）假設(shè)a＞b＞0．先證明不等式，即證，即證，令，則原不等式即為，其中t＞1，由（1）知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)t＞1時，f（t）＜f（1）＝0，即

，即，所以，當(dāng)a＞b＞0時，．

下面證明．即證，即，

令，即證，其中x＞1，構(gòu)造函數(shù)，其中x＞1，，所以，函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以，g（x）＞g（1）＝0，所以，當(dāng)x＞1時，，

所以，當(dāng)a＞b＞0時，．

綜上所述，當(dāng)a＞0，b＞0時，．