Question

6．已知圓O：x²+y²=r²（r＞0），與y軸交于M、N兩點且M在N的上方．且直線y=2x+$\sqrt{5}$與圓O相切．
（1）求實數(shù)r的值；   
（2）若動點P滿足PM=$\sqrt{3}$PN，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心，利用直線y=2x+$\sqrt{5}$與圓O相切，圓心O（0，0）到直線y=2x+$\sqrt{5}$的距離為半徑，求解即可．
（2）設(shè)點P（x，y），點M（0，1），N（0，-1）；MN=2，利用PM=$\sqrt{3}$PN，推出點P在圓心為（0，-2），半徑為$\sqrt{3}$的圓上，求出點P到y(tǒng)軸的距離最大值為$\sqrt{3}$，然后求解△PMN面積的最大值．

解答 解：（1）∵直線y=2x+$\sqrt{5}$與圓O相切
∴圓心O（0，0）到直線y=2x+$\sqrt{5}$的距離為：d=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=1，∴r=1．-------------------------------（4分）
（2）設(shè)點P（x，y），點M（0，1），N（0，-1）；MN=2
∵PM=$\sqrt{3}$PN．∴x²+（y-1）²=3x²+3（y+1）²，即x²+y²+4y+1=0-----------------------（8分）
∴點P在圓心為（0，-2），半徑為$\sqrt{3}$的圓上，∴點P到y(tǒng)軸的距離最大值為$\sqrt{3}$
∴△PMN面積的最大值為：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．---------------------------------------------------------------（12分）．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．