用數(shù)學(xué)歸納法證明，若f（n）=1+++…+，則n+f（1）+f（2）+…+f（n－1）=nf（n）（n≥2且n∈N*）.

證明：（1）當(dāng)n=2時，等式左邊=2+f（1）=2+1=3，等式右邊=2f（2）=2（1+）=3，所以n=2時，等式成立.

（2）假設(shè)n=k（k≥2）時等式成立，即有

k+f（1）+f（2）+…+f（k－1）=kf（k）成立.

又f（k+1）=f（k）+，

當(dāng)n=k+1時，

（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k－1）+f（k）

=［k+f（1）+f（2）+…+f（k－1）］+［1+f（k）］

=k·f（k）+f（k）+1

=（k+1）［f（k+1）－］+1

=（k+1）f（k+1）.

∴當(dāng)n=k+1時，等式成立.

由（1）（2）可知對一切n≥2的自然數(shù)都成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)生在觀察正整數(shù)的前n項平方和公式即12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
，n∈N*時發(fā)現(xiàn)它的和為關(guān)于n的三次函數(shù)，于是他猜想：是否存在常數(shù)a，b，1•22+2•32+…+n（n+1）2=
n(n+1)(n+2)(an+b)
12
．對于一切n∈N*都立？
（1）若n=1，2 時猜想成立，求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）若該同學(xué)的猜想成立，請你用數(shù)學(xué)歸納法證明．若不成立，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•奉賢區(qū)一模）首項為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+1=
an2+34
，(n∈N*)．
（1）當(dāng){an}是常數(shù)列時，求a1的值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：若a1為奇數(shù)，則對一切n≥2，an都是奇數(shù)；
（3）若對一切n∈N*，都有an+1＞an，求a1的取值范圍；
（4）以上（1）（2）（3）三個問題是從數(shù)列{an}的某一個角度去進(jìn)行研究的，請你類似地提出一個與數(shù)列{an}相關(guān)的數(shù)學(xué)真命題，并加以推理論證．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明，若f(n)=1+++…+,則n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明，若f(n)=1+++…+,則n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).

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