Question

18．已知函數(shù)g（x）=x+$\frac{2}{x}$-2．
（1）證明：函數(shù)g（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若不等式g（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）問(wèn)題化為1+2•${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}$-2•$\frac{1}{{2}^{x}}$≥k，令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則k≤2t²-2t+1，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）設(shè)$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，
∵g（x₁）-g（x₂）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-2）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，2＜x₁x₂，即x₁x₂-2＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
所以函數(shù)g（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上是增函數(shù)．
解：（2）g（2^x）-k•2^x≥0，可化為2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$-2≥k•2^x，
化為1+2•${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}$-2•$\frac{1}{{2}^{x}}$≥k，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則k≤2t²-2t+1，
因x∈[-1，1]，故t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
記h（t）=2t²-2t+1，因?yàn)閠∈[$\frac{1}{2}$，2]，故h（t）_max=5，
所以k的取值范圍是（-∞，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．