Question

20．如圖，在AB為直徑的半圓O上取一點C，連接AC并延長與過B點的切線相交于點D，以C為切點作切線交AB的延長線于G，交BD于F．
（1）求證：DF=BF；
（2）若AC=CG，求$\frac{AG}{CG}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接BC，運用圓的切線長定理和直徑所對的圓周角為直角，即可得到DF=BF；
（2）連接OF，由OF為△ABD的中位線，運用中位線定理和平行線的性質，可得B為OG的中點，設圓的半徑為r，可得BG=r，AG=3r，由切割線定理可得CG的長，進而得到所求比值．

解答 解：（1）證明：連接BC，
由切線長定理可得，F(xiàn)C=FB，∠FCB=∠FBC，
又AB為直徑，BC⊥AB，
可得∠DCF+∠FCB=∠CDF+∠FBC=90°，
即有∠DCF=∠CDF，
即有FC=DF，
故DF=BF；
（2）連接OF，由OF為△ABD的中位線，
可得OF∥AC，
由AC=CG，可得OF=FG，
又FB⊥OB，
可得B為OG的中點，
設圓的半徑為r，可得BG=r，AG=3r，
由切割線定理可得，CG²=BG•AG，
解得CG=$\sqrt{3}$r，
則$\frac{AG}{CG}$=$\frac{3r}{\sqrt{3}r}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓的切線長定理、切割線定理和三角形的中位線定理的運用，考查推理能力和運算能力，屬于中檔題．