Question

已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為a,求當(dāng)扇形的圓心角多大時(shí),扇形的面積最大,并求這個(gè)最大值.

Answer 1

活動(dòng):這是一道應(yīng)用題,并且考查了函數(shù)思想,教師提示學(xué)生回顧一下用函數(shù)法求最值的思路與步驟,教師提問(wèn)學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握和鞏固,并對(duì)回答好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不全面的學(xué)生給予一定的提示和鼓勵(lì).教師補(bǔ)充.函數(shù)法求最值所包括的五個(gè)基本環(huán)節(jié):(1)選取自變量;(2)建立目標(biāo)函數(shù);(3)指出函數(shù)的定義域;(4)求函數(shù)的最值;(5)作出相應(yīng)結(jié)論.其中自變量的選取不唯一,建立目標(biāo)函數(shù)結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行,函數(shù)定義域要根據(jù)題意確定,有些函數(shù)是結(jié)構(gòu)確定求最值的方法,并確保在定義域內(nèi)能取到最值.

解:設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,半徑為r,圓心角為α,面積為S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.

∴S=l·r= (a-2r)·r=-r²+r=-(r-)²+.

∵r＞0,l=a-2r＞0,∴0＜r＜.

∴當(dāng)r=時(shí),=此時(shí),l=a-2·=,∴α==2.

故當(dāng)扇形的圓心角為2rad時(shí),扇形的面積取最大值

點(diǎn)評(píng):這是一個(gè)最大值問(wèn)題,可用函數(shù)法求解,即將扇形的面積S表示成某個(gè)變量的函數(shù),然后求這個(gè)函數(shù)的最大值及相應(yīng)的圓心角.