【題目】已知函數(shù).
(1)若,且在上存在零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若對任意,存在使,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若存在實數(shù),使得當時,恒成立,求實數(shù)的最大值.
【答案】(1);(2);(3)10.
【解析】
(1)由時,,令,當時,分離參數(shù),再令,得出的單調(diào)性,從而得出的值域,可得實數(shù)a的取值范圍;
(2)由得,即令,則的對稱軸為,由得對稱軸的范圍,從而得當的最小值為,再由,得,可得的范圍;
(3)的對稱軸為,根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關系分情況討論的單調(diào)性,求出最值,根據(jù)列出不等式組,化簡得出的取值范圍,從而得到實數(shù)的最大值.
(1)由時,,令,當時,,
令,則的定義域為,設,則,
當時,,當時,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為是定義域為的奇函數(shù),
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
當時,或,所以或,所以要使在上存在零點,則需或.
故:實數(shù)a的取值范圍是或.
(2)由得,即令,則的對稱軸為,當時,對稱軸,
所以當時,的最小值為,而,所以,
所以要使對任意,存在使,則需;
(3)的對稱軸為.
①若,則在上單調(diào)遞增,,
由,得,
解不等式組,得.
②若,即時,在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,且,
.
,即,得.
③若,即時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,且 ,
,即,則.
④若,即時,在上單調(diào)遞減,
,
,即,則.
綜上, 的取值范圍是,的最大值為10.
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【題目】設,是兩條不同的直線,,,是三個不同的平面,給出下列四個命題:
①若,,則
②若,,,則
③若,,則
④若,,則
其中正確命題的序號是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【題目】某生產(chǎn)旅游紀念品的工廠,擬在2017年度進行系列促銷活動.經(jīng)市場調(diào)查和測算,該紀念品的年銷售量x(單位:萬件)與年促銷費用t(單位:萬元)之間滿足3-x與t+1成反比例.若不搞促銷活動,紀念品的年銷售量只有1萬件.已知工廠2017年生產(chǎn)紀念品的固定投資為3萬元,每生產(chǎn)1萬件紀念品另外需要投資32萬元.當工廠把每件紀念品的售價定為“年平均每件生產(chǎn)成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和時,則當年的產(chǎn)量和銷量相等.(利潤=收入-生產(chǎn)成本-促銷費用)
(1)請把該工廠2017年的年利潤y(單位:萬元)表示成促銷費t(單位:萬元)的函數(shù);
(2)試問:當2017年的促銷費投入多少萬元時,該工廠的年利潤最大?
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【題目】已知函數(shù),無窮數(shù)列的首項.
(1)如果,寫出數(shù)列的通項公式;
(2)如果(且),要使得數(shù)列是等差數(shù)列,求首項的取值范圍;
(3)如果(且),求出數(shù)列的前項和.
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【題目】幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件,為激發(fā)大家的學習興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動,這款軟件的激活碼為下列數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……,其中第一項是,接下來的兩項是,再接下來的三項是,……,以此類推,求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪,那么該軟件的激活碼是________。
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【題目】如圖,多面體中,,平面⊥平面,四邊形為矩形,∥,點在線段上,且.
(1)求證:⊥平面;
(2)若,求多面體被平面分成的大、小兩部分的體積比.
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【題目】某地計劃在一處海灘建造一個養(yǎng)殖場.
(1)如圖1,射線OA,OB為海岸線,,現(xiàn)用長度為1千米的圍網(wǎng)PQ依托海岸線圍成一個的養(yǎng)殖場,問如何選取點P,Q,才能使養(yǎng)殖場的面積最大,并求其最大面積.
(2)如圖2,直線l為海岸線,現(xiàn)用長度為1千米的圍網(wǎng)依托海岸線圍成一個養(yǎng)殖場.方案一:圍成三角形OAB(點A,B在直線l上),使三角形OAB面積最大,設其為;方案二:圍成弓形CDE(點D,E在直線l上,C是優(yōu)弧所在圓的圓心且),其面積為;試求出的最大值和(均精確到0.01平方千米),并指出哪一種設計方案更好.
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【題目】當前,以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進.高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進行體育測試,是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動,保證學生健康成長的有效措施.某地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試,三項考試滿分為50分,其中立定跳遠15分,擲實心球15分,1分鐘跳繩20分.某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況,隨機抽取了100名學生進行測試,得到如下頻率分布直方圖,且規(guī)定計分規(guī)則如下表:
每分鐘跳 繩個數(shù) | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)現(xiàn)從樣本的100名學生中,任意選取2人,求兩人得分之和不大于33分的概率;
(Ⅱ)若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布,用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差(結果四舍五入到整數(shù)),已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗,該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練,正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步,假設明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個,利用現(xiàn)所得正態(tài)分布模型:
(ⅰ)預估全年級恰好有1000名學生,正式測試時每分鐘跳193個以上的人數(shù).(結果四舍五入到整數(shù))
(ⅱ)若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人,記正式測試時每分鐘跳202個以上的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和期望.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,,則,
,
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