Question

7．已知直線方程為（2+2m）x+（1-m）y+4=0．
（1）該直線是否過定點？如果存在，請求出該點坐標，如果不存在，說明你的理由；
（2）當(dāng)m為何值時，點Q（3，4）到直線的距離最大，最大值為多少？
（3）當(dāng)m在什么范圍時，該直線與兩坐標軸負半軸均相交？

Answer 1

分析 （1）該直線是過定點，利用分離常數(shù)法化簡直線方程，列出方程組求出定點的坐標；
（2）先判斷出點Q與定點的連線就是所求最大值、此時兩直線垂直，由兩點之間的距離公式求出最大值，由斜率公式、直線方程、直線垂直的條件求出m的值；
（3）由直線方程先求出與坐標軸的交點坐標，由條件列出不等式組，求出m的取值范圍．

解答 解：（1）該直線過定點（-1，-2），
直線方程為（2+2m）x+（1-m）y+4=0，
可化為（2x-y）m+（2x+y+4）=0，
對任意m都成立，則$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，所以直線恒過定點（-1，-2）；
（2）當(dāng)點Q（3，4）到直線的距離最大時，QP垂直與已知的直線，
即點Q與定點P（-1，-2）的連線就是所求最大值，
所以最大值是PQ=$\sqrt{（3+1）^{2}+（4+2）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵k_PQ=$\frac{4+2}{3+1}$=$\frac{3}{2}$，
∴（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0的斜率為：$-\frac{2}{3}$，
可得$-\frac{2}{3}$=$-\frac{2-m}{2m+1}$，解得m=$\frac{4}{7}$；
（3）∵方程為（2+2m）x+（1-m）y+4=0，
∴令x=0，則y=$-\frac{4}{1-m}$，令y=0，x=$-\frac{4}{2+2m}$，
∵直線分別與x軸，y軸的負半軸都相交，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{1-m}＜0}\\{-\frac{4}{2+2m}＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜m＜1，
則m的取值范圍是（-1，1）．

點評 本題考查直線系方程以及過定點問題，兩點之間的距離公式、斜率公式，以及直線垂直條件的應(yīng)用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．