[2012·廣東卷] 如圖1-5所示,在四棱錐PABCD中,AB⊥平面PAD,ABCD,PDAD,EPB的中點,FDC上的點且DFAB,PH為△PADAD邊上的高.

(1)證明:PH⊥平面ABCD;

(2)若PH=1,AD,FC=1,求三棱錐EBCF的體積;

(3)證明:EF⊥平面PAB.

圖1-5

解:(1)由于AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,

ABPH.

又因為PH為△PADAD邊上的高,

ADPH.

ABADA,AB⊂平面ABCD,

AD⊂平面ABCD,

PH⊥平面ABCD.

(2)由于PH⊥平面ABCD,EPB的中點,PH=1,故E到平面ABCD的距離hPH.

又因為ABCDABAD,所以ADCD,

SBCF·FC·AD·1·.

因此VEBCFSBCF·h··.

(3)證明:過EEGABPAG,連接DG.

由于EPB的中點,所以GPA的中點.

因為DADP,故△DPA為等腰三角形,

所以DGPA.

AB⊥平面PADDG⊂平面PAD,

ABDG.

又∵ABPAAAB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,

DG⊥平面PAB.

又∵GEAB,DFAB,

GEDF.

所以四邊形DFEG為平行四邊形,故DGEF.

于是EF⊥平面PAB.

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