Question

16．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+1），且當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）=2^x-$\frac{1}{2}$，則f（log₂20）=（　　）

• A． -$\frac{7}{18}$
• B． -$\frac{39}{2}$
• C． -$\frac{3}{10}$
• D． $\frac{39}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和條件求出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的奇偶性和周期性的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡求解即可．

解答 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+1），
∴f（x+1）=-f（x），即f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
則∵4＜log₂20＜5，
∴0＜log₂20-4＜1，
∵當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）=2^x-$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，
-x∈（-1，0），
則f（-x）=2^-x-$\frac{1}{2}$=-f（x），
即f（x）=-2^-x+$\frac{1}{2}$，x∈（0，1），
則f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂$\frac{20}{16}$）=f（log₂$\frac{5}{4}$）=-${2}^{-lo{g}_{2}\frac{5}{4}}$+$\frac{1}{2}$=-${2}^{lo{g}_{2}\frac{4}{5}}$+$\frac{1}{2}$=$-\frac{4}{5}+\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{10}$，
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．