Question

14．已知函數(shù)$f（x）=sin（{wx+ϕ}），（{w＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}}）$，其相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離是π，且函數(shù)$f（{x+\frac{π}{12}}）$是偶函數(shù)，下列判斷正確的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
• B． 函數(shù)f（x）在$[{\frac{3π}{4}，π}]$上單調(diào)遞增
• C． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{7π}{12}$對(duì)稱
• D． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{12}，0}）$對(duì)稱-

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出函數(shù)f（x）的解析式，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離是π，
∴函數(shù)f（x）的周期為T=π，A錯(cuò)誤；
∵ω＞0，∴ω=2，
∴函數(shù)f（x+$\frac{π}{12}$）的解析式為：
f（x）=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ），
又函數(shù)f（x+$\frac{π}{12}$）是偶函數(shù)，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
當(dāng)x∈$[{\frac{3π}{4}，π}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{3}$，2π+$\frac{π}{3}$]，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，B正確；
當(dāng)x=-$\frac{7π}{12}$時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{5π}{6}$，f（x）的圖象不關(guān)于直線$x=-\frac{7π}{12}$對(duì)稱，C錯(cuò)誤；
當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，f（x）≠0，f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{12}，0}）$對(duì)稱，D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求正弦型函數(shù)的解析式以及函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．