18.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=2,an+1+an=2n+3.
(1)求a2,a3,a4;
(2)求an的表達(dá)式.

分析 (1)利用遞推關(guān)系式逐步求解即可.
(2)方法一:猜想通項公式,利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
方法二:利用遞推關(guān)系式,逐步代換求解即可;
方法三:圖象數(shù)列偶數(shù)項是等差數(shù)列,奇數(shù)項是等差數(shù)列,分別求解通項公式即可.

解答 解:(1)a1=2,an+1+an=2n+3,a2=3,a3=4,a4=5;
(2)方法一:猜想an的表達(dá)式為:${a_n}=n+1({n∈{N^*}})$,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①a1=2,猜想成立;
②假設(shè)n=k(k∈N*)時,ak=k+1,則ak+1=-ak+2k+3=-(k+1)+2k+3=(k+1)+1,即n=k+1時猜想成立,
綜合①②,由數(shù)學(xué)歸納法原理知:${a_n}=n+1({n∈{N^*}})$…(12分)
方法二:由an+1+an=2n+3得:${a_{n+1}}-({n+2})=-[{{a_n}-({n+1})}]=…={({-1})^n}({{a_1}-2})=0$,
所以:${a_n}=n+1({n∈{N^*}})$…(12分)
方法三:由an+1+an=2n+3得:an+2+an+1=2n+5,兩式作差得:an+2-an=2,
于是a1,a3,a5,…是首項a1=2,公差為2的等差數(shù)列,那么${a_{2k-1}}=2k({k∈{N^*}})$,
且a2,a4,a6,…是首項a2=3,公差為2的等差數(shù)列,那么${a_{2k}}=2k+1({k∈{N^*}})$,
綜上可知:${a_n}=n+1({n∈{N^*}})$…(12分)

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列的通項公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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