Question

如圖,三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,側(cè)棱A₁A⊥底面ABC,且各棱長(zhǎng)均相等.D,E,F分別為棱AB,BC,A₁C₁的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明EF//平面A₁CD;
(Ⅱ)證明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁;
(Ⅲ)求直線(xiàn)BC與平面A₁CD所成角的正弦值.

Answer 1

(Ⅰ)詳見(jiàn)解題分析；(Ⅱ)詳見(jiàn)解題分析；(Ⅲ)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．

試題分析：(Ⅰ)如圖，在三棱柱中，要證明//平面，只要在平面內(nèi)找的平行線(xiàn)，也即只要證明//即可．需要先證明四邊形為平行四邊形，這可有且//得到；(Ⅱ)要證明平面平面，只要能在其中一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線(xiàn)即可．可以嘗試證明平面由于是正三角形，為的中點(diǎn)，故，為此只要證明，它可以利益底面得到；(Ⅲ)首先需找到或作出線(xiàn)與平面所成角．按照定義，結(jié)合已知，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接．再利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明平面．由此得為直線(xiàn)與平面所成角．最后在中，利用銳角三角函數(shù)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

試題解析：(Ⅰ)證明：如圖，在三棱柱中，//，且連接在中，分別為的中點(diǎn)，且//，又為的中點(diǎn)，可得且//即四邊形為平行四邊形，//．又平面平面//平面；
(Ⅱ)證明：由于是正三角形，為的中點(diǎn)，故又由于側(cè)棱底面底面， 因此平面平面，平面平面；
(Ⅲ)解：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接．由于平面平面，而直線(xiàn)是平面與平面的交線(xiàn)，故平面．由此得為直線(xiàn)與平面所成角．設(shè)棱長(zhǎng)為,可得由∽,易得．在中，．所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．