Question

16．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），若以該直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin²θ-4cosθ=0．
（1）求直線l與曲線C的普通方程；
（2）已知直線l與曲線C交于A，B兩點，設(shè)M（2，0），求|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求直線l與曲線C的普通方程；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入y²=4x，整理可得3t²-8t-32=0，利用參數(shù)的幾何意義，求|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|的值．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)，可得普通方程y=$\sqrt{3}$（x-2）；
曲線C的極坐標方程為ρsin²θ-4cosθ=0，直角坐標方程為y²=4x；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入y²=4x，整理可得3t²-8t-32=0，
設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\frac{8}{3}$，t₁t₂=-$\frac{32}{3}$，
∴|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|=|$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$|=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查的知識點是圓的極坐標方程，直線的參數(shù)方程，直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，難度中檔．