Question

【題目】已知橢圓 的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成的三角形面積為.

(I)求橢圓的方程;

(II)設(shè)與圓相切的直線(xiàn)交橢圓于,兩點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn))，的最大值.

Answer 1

【答案】I. ；Ⅱ.2

【解析】

I:根據(jù)離心率得到，由三角形面積公式得到，進(jìn)而求出參數(shù)值，和方程；Ⅱ：當(dāng)ABx軸時(shí)，，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，根據(jù)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系得到，由=，借助于韋達(dá)定理表示求解即可.

I.由題設(shè)：

兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成的三角形面積為，

解得

∴橢圓C的方程為

Ⅱ.設(shè)

1.當(dāng)ABx軸時(shí)，

2.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為

由已知，得

設(shè)三角形OAB的高為h即圓的半徑,直線(xiàn)和圓的切點(diǎn)為M點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系得到：=，

把代入橢圓方程消去y，

整理得,

有

得

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)時(shí)，

綜上所述