Question

已知函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)，且f（1）＞0．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；
（Ⅲ）求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的奇偶性的定義建立方程，即可求k．（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明．（Ⅲ）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即k-1=0，解得k=1．
經(jīng)檢驗(yàn)k=1符合題意．
（Ⅱ）∵f（x）=a^x-a^-x，f（1）＞0，
∴f（1）=a-

1

a

＞0，
∵a＞0且a≠1，∴解得a＞1，
則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
用定義證明（x）在R上單調(diào)遞增．
設(shè)x₁，x₂是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=ax1-a-x1-ax2+a-x2=ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

=ax1-ax2+

ax1-ax2

ax2ax1

=(ax1-ax2)(1+

1

ax2ax1

)，
∵a＞1，∴函數(shù)y=a^x為增函數(shù)，
∴當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，0＜ax1＜ax2，即ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0等價(jià)為f（x²+2x）＞-f（x-4）=f（4-x），
又∵f（x）在R上單調(diào)遞增．
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
解得x＞1或 x＜-4．
即不等式的解集為{x|x＞1或 x＜-4}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的證明，以及利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．