Question

下面玩擲骰子放球的游戲：若擲出1點(diǎn)，甲盒中放入一球；若擲出2點(diǎn)或是3點(diǎn)，乙盒中放入一球；若擲出4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)，丙盒中放入一球!設(shè)擲n次后，甲、乙、丙盒內(nèi)的球數(shù)分別為x，y，z
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求x、y、z成等差數(shù)列的概率；（2）當(dāng)n=6時(shí)，求x、y、z成等比數(shù)列的概率；
（3）設(shè)擲4次后，甲盒和乙盒中球的個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值為ξ，求Eξ．
分析：顯然題目描述的是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，但不是我們熟悉的兩個(gè)而是三個(gè)，因此需要運(yùn)用類比方法求解．

Answer 1

（1）因x+y+z=3，且2y=x+z，所以

x=0 y=1 z=2

，或

x=1 y=1 z=1

，或

x=2 y=1 z=0

當(dāng)x=0，y=1，z=2時(shí)，只投擲3次出現(xiàn)1次2點(diǎn)或3點(diǎn)、2次4點(diǎn)或5次6點(diǎn)，即此時(shí)的概率為

C

13

?(

1

6

)0?(

1

3

)1?(

1

2

)2=

1

4

．
當(dāng)x=1，y=1，z=1時(shí)，只投擲3次出現(xiàn)1次1點(diǎn)、1次2點(diǎn)或是3點(diǎn)、1次4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)，即此時(shí)的概率為

C

13

?

C

12

?(

1

6

)1?(

1

3

)1?(

1

2

)1=

1

6

．
當(dāng)x=2，y=1，z=0時(shí)，只投擲3次出現(xiàn)2次1點(diǎn)、1次2點(diǎn)或3點(diǎn)，即此時(shí)的概率為

C

13

?(

1

6

)2?(

1

3

)1?(

1

2

)0=

1

36

．
故當(dāng)n=3時(shí)，x，y，z成等差數(shù)列的概率為

1

4

+

1

6

+

1

36

=

4

9

；
（2）當(dāng)n=6，且x、y、z成等比數(shù)列時(shí)，由x+y+z=6，且y²=x?z得：x=y=z=2．此時(shí)概率為

C

26

?(

1

6

)2?

C

24

?(

1

3

)2?

C

22

?(

1

2

)2=

5

72

；
（3）ξ的可能值為0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(

1

2

)4+

C

14

?(

1

6

)1?

C

13

?(

1

3

)1?

C

22

(

1

2

)2+

C

24

?(

1

6

)2?

C

22

(

1

3

)2=

107

432

P(ξ=1)=

C

14

(

1

6

)1(

1

2

)3+

C

14

(

1

3

)1(

1

2

)3+

C

24

(

1

6

)2

C

12

(

1

3

)1

C

11

(

1

2

)1+

C

14

(

1

6

)1

C

23

(

1

3

)2

C

11

(

1

2

)1=

5

12

P(ξ=2)=

C

24

(

1

6

)2(

1

2

)2+

C

24

(

1

3

)2(

1

2

)2+

C

34

(

1

6

)3(

1

3

)1+

C

14

(

1

6

)1(

1

3

)3=

155

648

P(ξ=3)=

C

34

(

1

6

)3(

1

2

)1+

C

34

(

1

3

)1(

1

2

)1=

1

12

；P(ξ=4)=

C

44

(

1

6

)4+

C

44

(

1

3

)4=

17

1296

；Eξ=

107

432

×0+

5

12

×1+

155

648

×2+

1

12

×3+

17

1296

×4=

97

81

．