Question

17．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=9，若O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的值是28．

Answer 1

分析 如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD．則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），OD⊥BC，即$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=0．于是$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），化簡(jiǎn)代入即可得出．

解答 解：由題意，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，則O是外心．
如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD．
則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），OD⊥BC，即$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=0．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$²）=$\frac{1}{2}$（81-25）=28．
故答案為：28．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量平行四邊形法則、垂經(jīng)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．