Question

7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB，b=2，則△ABC面積的最大值為$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 a=bcosC+ccosB，又a=2cosC+csinB，b=2，可得B．由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，利用基本不等式的性質(zhì)可得ac≤4+2$\sqrt{2}$，即可得出三角形面積的最大值．

解答 解：在△ABC中，∵a=bcosC+ccosB，又a=bcosC+csinB，b=2，
∴cosB=sinB，
∴tanB=1，B∈（0，π）．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴4≥2ac-$\sqrt{2}$ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)．
∴ac≤4+2$\sqrt{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×$（4+2$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、三角形面積的計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．