Question

17．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=-1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（Ⅰ）求C₁的直角坐標方程；
（Ⅱ）當C₁與C₂有兩個公共點時，求實數a取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用極坐標與直角坐標方程互化方法，求C₁的直角坐標方程；
（Ⅱ）當C₁與C₂有兩個公共點時，圓心到直線的距離d≤r，即可求實數a取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，即ρsinθ+ρcosθ=a，
∴C₁的直角坐標方程為x+y-a=0；
（Ⅱ）曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=-1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．普通方程為（x+1）²+（y+1）²=1，
∵C₁與C₂有兩個公共點，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-1-1-a|}{\sqrt{2}}$≤1，
∴-2-$\sqrt{2}$≤a≤2+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．