Question

17．已知函數(shù)f（x）=（x+a）e^x（x＞-3），其中a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點A（0，a）處的切線l與直線y=|2a-2|x平行，求l的方程；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，結合切線的斜率求出a的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f'（x）=（x+a+1）e^x，
∵f'（0）=a+1=|2a-2|，∴a=3或$\frac{1}{3}$，
當a=3時，f（x）=（x+3）e^x，f（0）=3，
∴l(xiāng)的方程為：y=4x+3，
當$a=\frac{1}{3}$時，$f（x）=（{x+\frac{1}{3}}）{e^x}，f（0）=\frac{1}{3}$，
∴l(xiāng)的方程為：$y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$．
（2）令f'（x）=（x+a+1）e^x=0得x=-a-1，
當-a-1≤-3即a≥2時，f'（x）=（x+a+1）e^x＞0，f（x）在（-3，+∞）遞增，
當-a-1＞-3即a＜2時，令f'（x）＞0得x＞-a-1，f（x）遞增，
令f'（x）=0得-3＜x-a-1，f（x）遞減，
綜上所述，當a＜2時，f（x）的增區(qū)間為（-a-1，+∞），減區(qū)間為（-3，-a-1），
當a≥2時，f（x）在（-3，+∞）上遞增．

點評 本題考查了切線方程問題，通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．