Question

已知函數f ( x ) = x³ + ax² + bx + c 在x =1 處有極值，f ( x )在x = 2處的切線l不過第四象限且傾斜角為，坐標原點到切線l的距離為。

（Ⅰ）a、b、c的值；

（Ⅱ）求函數y = f ( x )在區(qū)間上的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）由f (x) =x³+ax²+ bx +c，得f′(x) = 3x² + 2ax + b

∵x = 1 時f ( x )有極值，  

∴f′( 1 ) = 3 + 2a + b = 0          ①

∵f ( x )在x = 2處的切線l的傾斜角為，

∴f′(2) = 12+4a+b =tan=1    ②

由①②可解得a = 4 , b = 5

設切線l的方程為y =x+m，由坐標原點（0，0）到切線l的距離為，可得m =±1，

又切線不過第四象限，所以m = 1 ，切線方程為y = x + 1

∴切點坐標為（2，3），

∴f ( 2 ) = 8 16 + 10 + c = 3 ，所以 c = 1

故a = 4 , b = 5 , c = 1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x) =x³4x²+5x+1 , f′(x)= 3x² 8x + 5 = (x 1) (3x5)

∵x∈[1,] ,

∴函數f (x)在區(qū)間[1，1]上遞增，在上遞減

又f ( 1 ) = 9 ， f ( 1 ) = 3 ，  

∴f ( x )在區(qū)間上的最大值為3，最小為 9