Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=

2

2

，且其中一個焦點(diǎn)與拋物線y=

1

4

x2的焦點(diǎn)重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)S（-

1

3

，0）的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)處橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求的a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得c，進(jìn)而求得a，則b可得，進(jìn)而求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+

1

3

）²+y²=

16

9

．聯(lián)立兩個圓的方程求得其交點(diǎn)的坐標(biāo)，推斷兩圓相切，進(jìn)而可判斷因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是這個切點(diǎn)．證明時先看直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（1，0）．再看直線l不垂直于x軸，可設(shè)出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，記點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)偉大定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，代入

TA

•

TB

的表達(dá)式中，求得

TA

•

TB

=0，進(jìn)而推斷TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（1，0）．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)，離心率e=

2

2

，

c

a

=

2

2

，拋物線y=

1

4

x2的焦點(diǎn)為（0，1），所以c=1，a=

2

，b=1，橢圓C的方程是x²+

y2

2

=1
（Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+

1

3

）²+y²=

16

9

．
由

x2+y2=1 (x+ 1 3 )2+y2= 16 9

解得

x=1 y=0

即兩圓相切于點(diǎn)（1，0）．
因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（1，0）．
事實(shí)上，點(diǎn)T（1，0）就是所求的點(diǎn)．證明如下：
當(dāng)直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（1，0）．
若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k（x+

1

3

）．
由

y=k(x+ 1 3 ) x2+ y 2 2=1

即（k²+2）x²+

2

3

k²x+

1

9

k²-2=0．
記點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2= - 2 3 k2 k2+2 x1x2= 1 9 k2-2 k2+2

又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

TA

=（x₁-1，y₁），

TB

=（x₂-1，y₂），

TA

•

TB

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+

1

3

）（x₂+

1

3

）
=（k²+1）x₁x₂+（

1

3

k²-1）（x₁+x₂）+

1

9

k²+1
=（k²+1）

1 9 k2-2

k2+2

+（

1

3

k²-1）

- 2 3 k2

k2+2

+

1

9

k2+1=0，
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（1，0）．
所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T（1，0）滿足條件

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的綜合問題．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．