Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{bx}{lnx}$-ax，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn) （$\sqrt{e}，f（\sqrt{e}$））處的切線方程為3x+y-4$\sqrt{e}$=0，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，若存在 x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程，可得$f（\sqrt{e}）=（2b-a）\sqrt{e}=\sqrt{e}$且$f'（\sqrt{e}）=-2b-a=-3$，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，以及f′（x）的最大值，由題意可得“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f'（x）_max+a”．對(duì)a分類討論，①當(dāng)$a≥\frac{1}{4}$時(shí)，②當(dāng)$a＜\frac{1}{4}$時(shí)，當(dāng)-a≥0⇒a≤0時(shí)，當(dāng)-a＜0即$0＜a＜\frac{1}{4}$時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的最小值，解不等式即可得到a的范圍及a的最小值．

解答 解：（1）由已知得x＞0，x≠1，
函數(shù)f（x）=$\frac{bx}{lnx}$-ax的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=\frac{b（lnx-1）}{{{{（{lnx}）}^2}}}-a$．
由切線方程為3x+y-4$\sqrt{e}$=0，可得：
$f（\sqrt{e}）=（2b-a）\sqrt{e}=\sqrt{e}$且$f'（\sqrt{e}）=-2b-a=-3$，解之得a=1，b=1；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{（{lnx}）}^2}}}-a$=$-{（{\frac{1}{lnx}}）^2}+\frac{1}{lnx}-a=-{（{\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}-a$，
所以當(dāng)$\frac{1}{lnx}=\frac{1}{2}⇒x={e^2}$時(shí)，$f'{（x）_{max}}=\frac{1}{4}-a$．
而命題“若存在 ${x_1}，{x_2}∈[{e，{e^2}}]$，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立”等價(jià)于
“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f'（x）_max+a”．
又當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，$f'{（x）_{max}}=\frac{1}{4}-a$，所以$f'{（x）_{max}}+a=\frac{1}{4}$．
問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有$f{（x）_{min}}≤\frac{1}{4}$”
①當(dāng)$a≥\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，則$f{（x）_{min}}=f（{e^2}）=\frac{e^2}{2}-a{e^2}≤\frac{1}{4}$，
故$a≥\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{e^2}}}$．
②當(dāng)$a＜\frac{1}{4}$時(shí)，由于$f'（x）=-{（{\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}-a$在[e，e²]上的值域?yàn)?[{-a，\frac{1}{4}-a}]$．
當(dāng)-a≥0⇒a≤0時(shí)，f'（x）≥0在[e，e²]恒成立，故f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
于是$f{（x）_{min}}=f（e）=e-ae＞\frac{1}{4}$，不合題意．
當(dāng)-a＜0即$0＜a＜\frac{1}{4}$時(shí)，由f'（x）的單調(diào)性和值域知，
存在唯一${x_0}∈（{e，{e^2}}）$使f'（x）=0，且滿足：當(dāng)x∈（e，x₀）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)$x∈（{{x_0}，{e^2}}）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=\frac{x_0}{{ln{x_0}}}-a{x_0}≤\frac{1}{4}$，${x_0}∈（{e，{e^2}}）$．所以$a≥\frac{1}{{ln{x_0}}}-\frac{1}{{4{x_0}}}＞\frac{1}{{ln{e^2}}}-\frac{1}{4e}＞\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，與$0＜a＜\frac{1}{4}$矛盾．
綜上得a的最小值為$\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{e^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式存在性問(wèn)題的解法，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于難題．