Question

8．三棱錐A-BCD中，AD⊥平面BCD，AD=1，△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該幾何體外接球的表面積為（　　）

• A． $\frac{17}{6}π$
• B． $\frac{19}{6}π$
• C． $\frac{17}{3}π$
• D． $\frac{19}{3}π$

Answer 1

分析 由已知結(jié)合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△BCD為底面以DA為高的正三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r，和球心距d，可得球的半徑R，即可求出三棱錐A-BCD外接球的表面積．

解答 解：根據(jù)已知中底面△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，DA⊥平面BCD，
可得此三棱錐外接球，即為以△BCD為底面以DA為高的正三棱柱的外接球
∵△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∴△BCD的外接圓半徑r=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
球心到△BCD的外接圓圓心的距離d=$\frac{1}{2}$，R=$\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{19}{12}}$，
故三棱錐A-BCD外接球的表面積S=4πR²=$\frac{19π}{3}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，正確求出球的半徑R是解答的關(guān)鍵．屬于中檔題，