Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx，（0＜ω＜2），且f（x-$\frac{π}{6}$）=f（x+$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）試求ω的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)g（x）=2-|f（x）-$\sqrt{3}$|-kx（k∈R）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將函數(shù)進行化簡，利用f（x-$\frac{π}{6}$）=f（x+$\frac{π}{2}$）求出ω的值
（Ⅱ）求出g（x），分成兩個不同函數(shù)，采用數(shù)形結(jié)合法，依次在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上對k不同是值，看兩個函數(shù)的交點問題．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=sin2ωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx，
可得：f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx+$\sqrt{3}$
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}$，
由：f（x-$\frac{π}{6}$）=f（x+$\frac{π}{2}$），可得：f（x）=f（x+$\frac{2π}{3}$），
根據(jù)函數(shù)周期性質(zhì)有：k•T=$\frac{2π}{3}$，k∈N*，即：k•$\frac{π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，
∵0＜ω＜2，
解得：$ω=\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）由函數(shù)g（x）=2-|f（x）-$\sqrt{3}$|-kx（k∈R）
化簡：g（x）=|2sin（3x+$\frac{π}{3}$）|+2-kx，
令h（x）=|2sin（3x+$\frac{π}{3}$）|，y=2=kx，那么g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上零點的個數(shù)等價于函數(shù)h（x）與y=2-kx圖形在
[0，$\frac{7π}{18}$]上的交點個數(shù)．
數(shù)形結(jié)合：
畫出h（x）的函數(shù)圖象如圖：
最高點A為（$\frac{π}{18}，2$），B為（$\frac{7π}{18}$，2）
與x軸的交點C為（$\frac{2π}{9}，0$）
討論y=2-kx在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上的情況：
當直線經(jīng)過C點時，此時k=$\frac{9}{π}$．
當k＜0，兩函數(shù)圖象無交點；
當k=0，兩函數(shù)圖象有2個交點；
當0＜k＜$\frac{9}{π}$，兩函數(shù)圖象有3個交點；
當k=$\frac{9}{π}$，兩函數(shù)圖象有2個交點；
當k＞$\frac{9}{π}$，兩函數(shù)圖象有1個交點；
因此：當k＜0，g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上沒有零點；
當0＜k＜$\frac{9}{π}$，g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上有3零點；
當k=0，k=$\frac{9}{π}$，g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上有2零點；
當k＞$\frac{9}{π}$，g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上有1個零點．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的綜合運用能力和化簡能力，利用數(shù)形結(jié)合法討論零點問題．屬于中檔題．