如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形，且側(cè)面AA1C1C是邊長為2的正方形,E是的中點(diǎn),F在棱CC1上。

（1）當(dāng)CF時，求多面體ABCFA1的體積；
（2）當(dāng)點(diǎn)F使得A1F+BF最小時，判斷直線AE與A1F是否垂直，并證明的結(jié)論。

(1) ;(2) ，證明詳見解析

解析試題分析：（1）此多面體是以為底面，以B為頂點(diǎn)的四棱錐，而且，因為△ABC為正三角形，所以△ABC的AC邊上的高即為此四棱錐的高，底面是直角梯形，所以利用錐體體積公式即可求得其體積。(2)把立體圖展成平面圖后，兩點(diǎn)之間直線最短，連接交與點(diǎn)F，此時A1F+BF最小，分析可知F為的中點(diǎn)。過點(diǎn)作交于，則是的中點(diǎn)，此時只需判斷AE與EG是否垂直即可。求出三角形AEG三邊長即可得證，詳見解析。
試題解析：解：（Ⅰ）
由已知可得的高為且等于四棱錐的高.
，即多面體的體積為        5分
（Ⅱ）將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時點(diǎn)使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點(diǎn).   7分

過點(diǎn)作交于，則是的中點(diǎn)，.
過點(diǎn)作交于，則
又于是在中，
在中，
在中，， ∴              13分
考點(diǎn)：幾何體體積，線線垂直。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖所示是一幾何體的直觀圖、正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖．

(1)若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF⊥面PCD；
(2)求幾何體BEC－APD的體積．

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如圖，長方體中，為線段的中點(diǎn),.

(Ⅰ)證明：⊥平面；
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離.

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如圖在長方體中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）求長方體的體積；
（2）若，，，求異面直線與所成的角．

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已知半徑為的球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體（即正方體的頂點(diǎn)都在球面上）.
（1）求此球的體積；
（2）求此球的內(nèi)接正方體的體積；
（3）求此球的表面積與其內(nèi)接正方體的全面積之比.

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已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求此幾何體的體積的大小

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如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，, 底面,,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求四棱錐的體積；
（Ⅱ）證明：直線平面.

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如圖，四邊形與均為菱形，設(shè)與相交于點(diǎn)，若，且.

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.

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已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn)。

（Ⅰ）證明：面面；
（Ⅱ）求與所成的角；
（Ⅲ）求面與面所成二面角的大小。

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