已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求此幾何體的體積的大小

(1)異面直線與所成的角的余弦值為．
(2)二面角的的正弦值為．
(3)幾何體的體積為16．

解析試題分析：(1)先確定幾何體中的棱長, ，通過取的中點(diǎn)，連結(jié)，
則，∴或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角． 在中即可解得的余弦值.
(2) 因為二面角的棱為，可通過三垂線法找二面角，由已知平面，過作交于，連．可得平面，從而，∴為二面角的平面角． 在中可解得角的正弦值.
（3）該幾何體是以為頂點(diǎn)，為高的，為底的四棱錐，所以
此外也可以以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系來解答.
試題解析：（1）取的中點(diǎn)是，連結(jié)，
則，∴或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角．
在中，，．∴．
∴異面直線與所成的角的余弦值為．
（2）因為平面，過作交于，連．
可得平面，從而，
∴為二面角的平面角． 
在中，，，，
∴．∴．
∴二面角的的正弦值為．
（3），∴幾何體的體積為16．
方法2：（1）以為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）
，，∴，
∴異面直線與所成的角的余弦值為．
（2）平面

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面;
（2）求多面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知平面，四邊形是矩形，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求三棱錐的體積；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求證：∥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知正方體的棱長為.

（1）求異面直線與所成角的大�。�
（2）求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形，且側(cè)面AA1C1C是邊長為2的正方形,E是的中點(diǎn),F在棱CC1上。

（1）當(dāng)CF時，求多面體ABCFA1的體積；
（2）當(dāng)點(diǎn)F使得A1F+BF最小時，判斷直線AE與A1F是否垂直，并證明的結(jié)論。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知梯形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，，．沿將梯形翻折，使平面⊥平面(如圖)．是的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時，求證：⊥ ；
（2）當(dāng)變化時，求三棱錐體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）設(shè)AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱錐C一A1DE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖是一個直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖.在直觀圖中,是的中點(diǎn).又已知側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

(Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;
(Ⅱ)求出該幾何體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐中，是正方形，E是的中點(diǎn)，

(1)若，求 PC與面AC所成的角
(2) 求證：平面
(3) 求證：平面PBC⊥平面PCD

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