Question

已知函數(shù)f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²（a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）對?x∈[1，+∞），不等式（2x-4a）lnx＞-x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=
=4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）．
①若0＜a＜，當x∈（0，a），x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（a，）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，a），（，+∞）；單調遞減區(qū)間是（a，）．
②若a=，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
③若a＞，當x∈（0，），x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（，a）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，），（a，+∞）；單調遞減區(qū)間是（，a）．
（2）因為x≥1，所以由（2x-4a）lnx＞-x，得
（2x²-4ax）lnx+x²＞0，即函數(shù)f（x）＞0對x≥1恒成立，
由（Ⅰ）可知，當0＜a≤時，f（x）在，[1，+∞）上單調遞增，則f（x）_min=f（1）＞0，成立，故0＜a≤．
當＜a≤1，則f（x）在[1，+∞）上單調遞增，f（x）_min=f（1）=1＞0恒成立，符合要求．
當a＞1時，f（x）在（1，a）上單調遞減，（a，+∞）上單調遞增，則
f（x）_min=f（a）＞0，即（2a²-4a²）lna+a²＞0，1＜a＜．
綜上所述，0＜a＜．
分析：（1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，注意對a進行討論；
（2）對?x∈[1，+∞），不等式（2x-4a）lnx＞-x恒成立，可得（2x²-4ax）lnx+x²＞0，即f（x）＞0恒成立，轉化為f（x）_min＞0，借助（1）問結論可求．
點評：本題考查應用導數(shù)研究函數(shù)單調性、最值問題，導數(shù)是研究函數(shù)單調性、最值問題的有力工具．