Question

20．已知矩形ABCD的邊AB=4，AD=1，點P為邊AB上的一動點，則當(dāng)∠DPC最大時，線段AP的長為（　　）

• A． 1或3
• B． 1.5或2.5
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 以點A為原點，AB、AD所在直線分別為x，y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)P（x，0），則0≤x≤4，（1）當(dāng)x=0時，可求∠CPD為銳角．（2）當(dāng)0＜x＜4時，可得tan∠APD=$\frac{1}{x}$，tan∠BPC=$\frac{1}{4-x}$，利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan∠CPD=$\frac{4}{（x-2）^{2}-3}$，可得當(dāng)x=2時，∠CPD最大，即可得解．

解答 解：如圖，以點A為原點，AB、AD所在直線分別為x，y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，
則A（0，0），B（4，0），C（4，1），
D（0，1），
設(shè)P（x，0），則0≤x≤4，
（1）當(dāng)x=0時，tan∠CPD=tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=4；
當(dāng)x=4時，tan∠CPD=tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=4，此時∠CPD為銳角．
（2）當(dāng)0＜x＜4時，tan∠APD=$\frac{1}{x}$，tan∠BPC=$\frac{1}{4-x}$，
所以tan∠CPD=tan（π-∠APD-∠BPC）
=-$\frac{tan∠APD+tan∠BPC}{1-tan∠APD•tan∠BPC}$
=-$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{4-x}}{1-\frac{1}{x}•\frac{1}{4-x}}$
=$\frac{4}{{x}^{2}-4x+1}$
=$\frac{4}{（x-2）^{2}-3}$，
當(dāng)x=2時，tan∠CPD=-$\frac{4}{3}$，此時∠CPD最大，即所求線段AP的長為2．
故選：C．

點評 本題考查了兩角和的正切函數(shù)、函數(shù)最值的求解及函數(shù)思想、分類討論思想，考查學(xué)生靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于中檔題．