Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）證明：f（x）≥f（0）；
（2）若x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：f（x）=|x+2|+|x﹣1|，

x≤﹣2時，f（x）=﹣x﹣2﹣x+1=﹣2x﹣1≥3，

﹣2＜x＜1時，f（x）=x+2﹣x+1=3，

x≥1時，f（x）=x+2+x﹣1=2x+1≥3，

∴f（x）≥3=f（0）；

（2）解：x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即x∈R，不等式2[|x+2|+|x﹣1|]≥|a+3|+|a|恒成立，

∴|a+3|+|a|≤6，

a≤﹣3時，﹣a﹣3﹣a≤6，∴a≥﹣4.5，∴﹣4.5≤a≤﹣3，

﹣3＜a＜0時，a+3﹣a≤6，成立；

a≥0時，a+3+a≤6，∴a≤1.5，∴0≤a≤1.5，

綜上所述，﹣4.5≤a≤1.5

【解析】（1）分類討論，求出f（x）的最小值，即可證明結(jié)論；（2）x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即x∈R，不等式2[|x+2|+|x﹣1|]≥|a+3|+|a|恒成立，可得|a+3|+|a|≤6，分類討論求實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．