Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n-1=（n-1）a_n-n（n-1），n≥2且n∈N⁺
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=3^n-1•

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）變形利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （Ⅰ）證：由已知可得

an

n

=

an-1

n-1

+1，
即

an

n

-

an-1

n-1

=1，
∴{

an

n

}是以

a1

1

=1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

an

n

=1+(n-1)•1=n，
∴an=n2，
從而bn=n•3n-1，
Sn=1+2•31+3•32+…+n•3n-1①
3Sn=1•3+2•32+…+(n-1)•3n-1+n•3n②
①-②得-2Sn=1+31+32+…+3n-1-n•3n，=

1-3n

1-3

-n•3n=

(1-2n)•3n-1

2

．
∴Sn=

(2n-1)•3n+1

4

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式性質(zhì)、“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．