Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ax+2-3a\;，x＜0\\{2^x}-1\;\;，\;\;\;x≥0.\end{array}\right.$若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 當(dāng)x≥0時(shí)，2^x-1≥0，故若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，則當(dāng)x＜0時(shí)，存在不小于0的函數(shù)值，進(jìn)而得到答案．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，2^x-1≥0，
當(dāng)x＜0時(shí)，
若a=0，則f（x）=2恒成立，滿(mǎn)足條件；
若a＞0，則f（x）＜2-3a，若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，則2-3a＞0，
即a∈（0，$\frac{2}{3}$）；
若a＞0，則f（x）＜2-3a，若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，則2-3a＞0，
即a∈（0，$\frac{2}{3}$）；
若a＜0，則f（x）＞2-3a，滿(mǎn)足條件，
綜上可得：a∈（-∞，$\frac{2}{3}$）；
故答案為：（-∞，$\frac{2}{3}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)求值，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．