Question

【題目】在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，腰長為2，D、E分別是邊AB、BC的中點，將△BDE沿DE翻折，得到四棱錐B﹣ADEC，且F為棱BC中點，BA.

（1）求證：EF⊥平面BAC；

（2）在線段AD上是否存在一點Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）取中點，連結、，在等腰中，由已知可得，則，由線面垂直的判定可得平面，進一步得到平面，則，可得平面，然后證明是平行四邊形，得，從而得到平面；（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系．求出，，，，的坐標，設，，，求出平面的法向量，由求得，即線段上存在一點，使得平面，再求出平面的法向量為，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

（1）證明：取中點，連結、，在等腰中，

，，、分別是邊、的中點，，

又翻折后，翻折后，且為等腰直角三角形，則，

翻折后，，且，平面，

，平面，則，

又，平面，

又，，且，

是平行四邊形，則，

平面；

（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系．則，1，，，0，，，0，，，1，，，設，，，

則，

設平面的法向量為，，，則由，取，則，1，，

要使平面，則須，

，即線段上存在一點，使得平面，

設平面的法向量為，，，則由，取，則，1，，

，

二面角為銳二面角，其余弦值為，

即線段上存在一點（點是線段上的靠近點的一個三等分點），

使得平面，此時二面角的余弦值為．