Question

已知函數(shù)f（x）=（k²+1）x²-2kx-（k-1）²（k∈R），x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，且x₁＞x₂．
（1）①求證：x₁=1；②求x₂的取值范圍；
（2）記g（k）為函數(shù)f（x）的最小值，當(dāng)x₂∈[-2，-1]時(shí)，求g（k）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）①令f（x）=0即可解出兩個(gè)零點(diǎn)，從而可證：x₁=1；②由①得x₂=

-k2+2k-1

k2+1

，可化為（1+x₂）k²-2k+x₂+1=0．因?yàn)閗∈R，且此關(guān)于k的方程必有解，討論可得x₂的取值范圍為[-2，0]．
（2）由x₂∈[-2，-1]，得-2≤

-k2+2k-1

k2+1

≤-1，得k≤0．g（k）=

-4(k2+1)(k2-2k+1)-4k2

4(k2+1)

=-[（k²-2k+1）+

k2

k2+1

]．g（k）在區(qū)間（-∞，0]上是增函數(shù)，所以當(dāng)k=0時(shí)，g（k）取到最大值g（0）=-1．故當(dāng)x₂∈[-2，-1]時(shí)，g（k）的最大值為-1．

解答： 解：（1）①證明：由f（x）=0得（k²+1）x²-2kx-（k-1）²=0
即[（k²+1）x+（k-1）²]•（x-1）=0
所以函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為1和-

(k-1)2

k2+1

．
又-

(k-1)2

k2+1

＜0，所以x₁=1；x₂=-

(k-1)2

k2+1

．
所以x₁=1成立．
②由①得x₂=-

(k-1)2

k2+1

=

-k2+2k-1

k2+1

，
可化為（1+x₂）k²-2k+x₂+1=0．
因?yàn)閗∈R，且此關(guān)于k的方程必有解，
所以當(dāng)x₂=-1，此時(shí)k=0；
當(dāng)x₂≠-1，此方程的△=4-4(x2+1)2≥0，解得-2≤x₂≤0，
則-2≤x₂≤0且x₂≠-1．
綜上，x₂的取值范圍為[-2，0]．
（2）由x₂∈[-2，-1]，得-2≤

-k2+2k-1

k2+1

≤-1，得k≤0．
又函數(shù)f（x）的最小值為

-4(k2+1)(k2-2k+1)-4k2

4(k2+1)

，
即g（k）=

-4(k2+1)(k2-2k+1)-4k2

4(k2+1)

=-[（k²-2k+1）+

k2

k2+1

]．
下面證明g（k）在區(qū)間（-∞，0]上是增函數(shù)，
對(duì)任意的k₁＜k₂≤0，
都有g(shù)（k₁）-g（k₂）=-[（k12-2k₁+1）+

k12

k12+1

]+[（k22-2k₂+1）+

k22

k22+1

]
=（k₂-k₁）[（k₂+k₁）-2+

k1+k2

(k12+1)(k22+1)

]，
因?yàn)閗₁＜k₂≤0，所以k₂-k₁＞0，k₂+k₁＜0，

k1+k2

(k12+1)(k22+1)

＜0，
所以（k₂-k₁）[（k₂+k₁）-2+

k1+k2

(k12+1)(k22+1)

]＜0，
即g（k₁）-g（k₂）＜0，所以g（k）在區(qū)間（-∞，0]上是增函數(shù)．
所以當(dāng)k=0時(shí)，g（k）取到最大值g（0）=-1．
當(dāng)x₂∈[-2，-1]時(shí)，g（k）的最大值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考察了函數(shù)單調(diào)性質(zhì)的證明，考察了計(jì)算能力，屬于中檔題．