Question

1．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁與A₁C相交于點(diǎn)D．
（1）求證：BD⊥A₁C；
（2）若E在棱BC₁上，且滿足DE∥面ABC，求三棱錐E-ACC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知，可得BD⊥AC₁，結(jié)合平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的性質(zhì)可得BD⊥A₁C；
（2）由題意可得△ABC₁為正三角形，求得$BD=\sqrt{3}$，再由E為BC₁的中點(diǎn)求得E到平面ACC₁的距離，求出△ACC₁的面積，代入棱錐體積公式得答案．

解答 （1）證明：側(cè)面AA₁C₁C是菱形，D是AC₁的中點(diǎn)，∵BA=BC₁，∴BD⊥AC₁，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，且BD?平面ABC₁，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，則BD⊥A₁C；
（2）解：∵DE∥面ABC，DE?面ABC₁，面ABC₁∩面ABC=AB，∴DE∥AB，
∵點(diǎn)D為AC₁的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為BC₁的中點(diǎn)，
∵AA₁=AC=2，∠AA₁C₁=60°，∴AC₁=2，∵AB=BC₁=2，
∴△ABC₁為正三角形，則$BD=\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)E到面ACC₁的距離等于$\frac{1}{2}BD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
${S}_{△AC{C}_{1}}=\frac{1}{2}AC•A{C}_{1}•sin60°=\frac{1}{2}•2•2•\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
∴${V_{E-AC{C_1}}}=\frac{1}{3}sh=\frac{1}{3}•\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了多面體體積的求法，是中檔題．