Question

已知數(shù)列{a_n}：a₁=1、a₂=2、a₃=r且a_n+3=a_n+2（n∈N^*），與數(shù)列{b_n}：b₁=1、b₂=0、b₃=-1、b₄=0且b_n+4=b_n（n∈N^*）．記T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，求r的值；
（2）求T₁₂的值，并求證當(dāng)n∈N^*時(shí)，T_12n=-4n；
（3）已知r＞0，且存在正整數(shù)m，使得在T_12m+1，T_12m+2，…，T_12m+12中有4項(xiàng)為100．求r的值，并指出哪4項(xiàng)為100．

Answer 1

分析：（1）求出數(shù)列的前9項(xiàng)，利用a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，即可求r的值；
（2）利用T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．直接求T₁₂的值，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n∈N^*時(shí)，T_12n=-4n；
（3）寫(xiě)出T_12m+1，T_12m+2，…，T_12m+12的值，判斷這12項(xiàng)中的4項(xiàng)為100．然后求出r的值，即可求出哪4項(xiàng)為100．

解答：解：（1）求得a₁=1，a₂=2，a₃=r，a₄=3，a₅=4，a₆=r+2，a₇=5，a₈=6，a₉=r+4
所以由a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，可得r=

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3

．
（2）因?yàn)閎₁=1、b₂=0、b₃=-1、b₄=0且b_n+4=b_n（n∈N^*）．
a₁=1，a₂=2，a₃=r，a₄=3，a₅=4，a₆=r+2，a₇=5，a₈=6，a₉=r+4…
T₁₂=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b₁₂a₁₂=-4，T_12n=-4n，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n∈Z⁺時(shí)，T_12n=-4n．
①當(dāng)n=1時(shí)，T₁₂=a₁-a₃+a₅-a₇+a₉-a₁₁=-4，
等式成立
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即T_12k=-4k，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
T_12（k+1）=T_12k+a_12k+1-a_12k+3+a_12k+5-a_12k+7+a_12k+9-a_12k+11
=-4k+（8k+1）-（8k+r）+（8k+4）-（8k+5）+（8k+r+4）-（8k+8）
=-4k-4=-4（k+1），
等式也成立．
根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng)n∈Z⁺時(shí)，T_12n=-4n．
（3）解：T_12m=-4m（m≥1）．
當(dāng)n=12m+1，12m+2時(shí)，T_n=4m+1；
當(dāng)n=12m+3，12m+4時(shí)，T_n=-4m+1-r；
當(dāng)n=12m+5，12m+6時(shí)，T_n=4m+5-r；
當(dāng)n=12m+7，12m+8時(shí)，T_n=-4m-r；
當(dāng)n=12m+9，12m+10時(shí)，T_n=4m+4；
當(dāng)n=12m+11，12m+12時(shí)，T_n=-4m-4．
∵4m+1是奇數(shù)，-4m+1-r，-4m-r，-4m-4均為負(fù)數(shù)，
∴這些項(xiàng)均不可能取到100．
∴4m+5-r=4m+4=100，解得m=24，r=1．
此時(shí)T₂₉₃，T₂₉₄，T₂₉₇，T₂₉₈為100．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，數(shù)列求和的應(yīng)用，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，計(jì)算能力．