已知數(shù)列{an},{bn)滿足a1=2,b1=1,且
an=
3
4
an-1+
1
4
bn-1+1
bn=
1
4
an-1+
3
4
bn-1+1
(n≥2),數(shù)列{cn}滿足cn=an+bn
(1)求c1和c2的值;
(2)求證:數(shù)列 {cn}為等差數(shù)列,并求出數(shù)列{cn}的通項公式;
(3)設數(shù)列{cn}的前n和為Sn,求證:
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
<1.
分析:(1)利用數(shù)列遞推式,代入計算,可得結論;
(2)根據(jù)題設得an+bn=(an-1+bn-1)+2(n≥2),即cn=cn-1+2(n≥2),即可得到數(shù)列{cn}的通項公式cn;
(3)求出前n項和Sn,可得{
1
Sn
}的通項,利用裂項法,即可證得結論.
解答:(1)解:(1)由題意,∵a1=2,b1=1,∴c1=a1+b1=3,
a2=
3
4
a1+
1
4
b1+1
=
11
4
,b2=
1
4
a1+
3
4
b1+1
=
9
4

∴c2=a2+b2=5;
(2)證明:因為
an=
3
4
an-1+
1
4
bn-1+1
bn=
1
4
an-1+
3
4
bn-1+1
(n≥2),
∴cn=an+bn=(
3
4
an-1+
1
4
bn-1+1
)+(
1
4
an-1+
3
4
bn-1+1
)=an-1+bn-1+2=cn-1+2
∴cn-cn-1=2,即數(shù)列{cn}是以c1=3為首項,2為公差的等差數(shù)列
∴cn=3+2(n-1)=2n+1;
(3)證明:Sn=
n(3+2n+1)
2
=n(n+2),∴
1
Sn
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)

1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)
+…+(
1
n
-
1
n+2
)
]
=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)
=
3
4
-(
1
n+1
+
1
n+2
)
3
4
<1.
點評:本題主要考查等差數(shù)列的性質以及數(shù)列的求和,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知數(shù)列{an}滿足:a1<0,
an+1
an
=
1
2
,則數(shù)列{an}是( �。�

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已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,nan+1=2(n十1)an+n(n+1),(n∈N*),
(I)若bn=
ann
+1
,試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(II)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn.

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已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+3n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為
an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2

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已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n,那么它的通項公式為an=
2n
2n

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