【題目】已知橢圓：的右焦點為，設(shè)過的直線的斜率存在且不為0，直線交橢圓于，兩點，若中點為，為原點，直線交于點．

（1）求證：；

（2）求的最大值．

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

試題分析：

(1)設(shè)直線的斜率為（），聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得．結(jié)合韋達(dá)定理可得線段中點的坐標(biāo)為．據(jù)此計算可得直線的斜率為，則.

(2)考查．換元令，則．結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得時，取最大值3，此時取最大值．

試題解析：

（1）證明：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為，

聯(lián)立方程組消去可得．

設(shè)，，則于是有，

所以線段中點的坐標(biāo)為．

又直線的斜率，因此直線的方程為，它與直線的交點，故直線的斜率為，于是．　

因此.

（2）解：記

．

令，則．

因為，所以．

故當(dāng)時，即時，取最大值3．

從而當(dāng)時，取最大值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,焦距為 2，一條準(zhǔn)線方程為，為橢圓上一點，直線交橢圓于另一點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若點的坐標(biāo)為，求過三點的圓的方程；

(3)若，且，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位�？康臅r間（單位：小時），如果停靠時間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，以此類推，統(tǒng)計結(jié)果如表：

停靠時間

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

輪船數(shù)量

12

12

17

20

15

13

8

3

（Ⅰ）設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均�？繒r間為小時，求的值；

（Ⅱ）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在�？吭摬次粫r必須等待的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，幾何體AMDCNB是由兩個完全相同的四棱錐構(gòu)成的幾何體，這兩個四棱錐的底面ABCD為正方形，，平面平面ABCD.

(1)證明:平面平面MDC.

(2)若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏．某機構(gòu)組織了一場詩詞知識競賽，將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級，從中隨機抽取100名選手進(jìn)行調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級與人數(shù)的條形圖．

(1)若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為選手成績優(yōu)秀與文化程度有關(guān)？

優(yōu)秀

合格

總計

大學(xué)組

中學(xué)組

總計

(2)若參賽選手共6萬名，用頻率估計概率，試估計其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù)；

(3)在優(yōu)秀等級的選手中選取6名，在良好等級的選手中選取6名，都依次編號為1,2,3,4,5,6，在選出的6名優(yōu)秀等級的選手中任取一名，記其編號為a，在選出的6名良好等級的選手中任取一名，記其編號為b，求使得方程組有唯一一組實數(shù)解(x，y)的概率．

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.01

k0

2.706

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點.

（Ⅰ）證明： BC1//平面A1CD;

（Ⅱ）設(shè)AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A1DE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50名學(xué)生組成一個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）請估計學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)；

（2）若成績小于15秒認(rèn)為良好，求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；

（3）請根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四面體中，已知，，

（1）求證：；

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，圓

（1）若圓、相交，求的取值范圍；

（2）若圓與直線相交于、兩點，且，求的值；

（3）已知點，圓上一點，圓上一點，求的最小值的取值范圍．

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