Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³+x，若$2+f（{log_{\frac{1}{a}}}2）＞0$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，易知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)，且f（1）=2，所以不等式$2+f（{{{log}_{\frac{1}{a}}}2}）＞0$可化為f（log_a2）＜f（1），即log_a2＜1．對(duì)a的范圍分2種情況討論：①0＜a＜1時(shí)，②a＞1時(shí)，分別求出a的范圍，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)于f（x）=x³+x，其定義域?yàn)镽，
有f（-x）=-（x³+x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)，
又由f′（x）=3x²+1＞0，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
若$2+f（{log_{\frac{1}{a}}}2）＞0$，則有f（log_a2）＜f（1），
即log_a2＜1；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_a2＜0，則log_a2＜1恒成立，
當(dāng)a＞1時(shí)，log_a2＜1⇒a＞2，
綜合可得：a的取值范圍是（0，1）∪（2，+∞）；
故答案為：（0，1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分析出函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性．