Question

14．已知函數(shù)f（x）=2x²-ax+a²-4，g（x）=x²-x+a²-8，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＜0；
（2）若對任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若對任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入解關(guān)于x的不等式即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為x²+（1-a）x+4＞0在x＞0恒成立，通過討論判別式得到關(guān)于a的不等式組，解出即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為f（x）_min＞g（x）_max，x∈[0，1]，通過討論a的范圍求出f（x）的最小值以及g（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=2x²-x-3，
令f（x）＜0，得：（2x-3）（x+1）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{3}{2}$；
（2）若對任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，
即x²+（1-a）x+4＞0在x＞0恒成立，
令h（x）=x²+（1-a）x+4＞0，（x＞0），
△=（1-a）²-16＜0即-3＜a＜5時(shí)，
h（x）和x軸無交點(diǎn)，開口向上，符合題意，
△≥0時(shí)，解得：a≥5或a≤-3，
只需$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=4＞0}\\{-\frac{1-a}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得：a＜1，
綜上：a＜5；
（3）若對任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，
即只需滿足f（x）_min＞g（x）_max，x∈[0，1]，
g（x）=x²-x+a²-8，對稱軸x=$\frac{1}{2}$，g（x）在[0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，1]遞增，
∴g（x）_max=g（0）=g（1）=a²-8，
f（x）=2x²-ax+a²-4，對稱軸x=$\frac{a}{4}$，
①$\frac{a}{4}$≤0即a≤0時(shí)，f（x）在[0，1]遞增，f（x）_min=f（0）=a²-4＞g（x）_max=a²-8恒成立，
②0＜$\frac{a}{4}$＜1即0＜a＜4時(shí)，f（x）在[0，$\frac{a}{4}$）遞減，在（$\frac{a}{4}$，1]遞增，
f（x）_min=f（$\frac{a}{4}$）=$\frac{7}{8}$a²+4，g（x）_max=a²-8，
∴$\frac{7}{8}$a²+4＞a²-8，解得：0＜a＜2$\sqrt{6}$，
③$\frac{a}{4}$≥1即a≥4時(shí)，f（x）在[0，1]遞減，
f（x）_min=f（1）=a²-a-2，g（x）_max=a²-8，
∴a²-a-2＞a²-8，解得：4≤a＜6，
綜上：a∈（-∞，2$\sqrt{6}$）∪[4，6）．

點(diǎn)評 本題考查了解不等式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．