Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a（a∈R，a為常數(shù)），求f（x）的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意，先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+a，再由周期公式求出周期，由復(fù)合三角函數(shù)單調(diào)性的示法求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a=2sin2xcos

π

6

-cos2x+a=2sin（2x-

π

6

）+a
所以，函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得，kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

π

3

，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，2kπ+

π

3

]k∈z，
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解得，kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

5π

6

，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

3

，2kπ+

5π

6

]k∈z，
綜上，函數(shù)的最小正周期為π，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[[kπ-

π

6

，2kπ+

π

3

]k∈z，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

3

，2kπ+

5π

6

]k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用與三角函數(shù)周期的求法公式及單調(diào)區(qū)間的求法，性質(zhì)考查題，知識(shí)技能型，此類題屬于難度較低的類型．