Question

已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x⁴．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=

f(x)+1，x≥0 1，x＜0

，求滿足g（1-x）＞g（2x）的x的取值范圍；
（3）對(duì)任意的x∈[a，a+2]，不等式f（a-x）+2f（x）≤0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=（-x）^4₌x⁴，又f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）可求f（x）的解析式；（2）x≥0時(shí)，f（x）=x⁴，代入g（x），分類討論求解不等式；（3）有函數(shù)解析式得函數(shù)為R上的增函數(shù)，且2f（x）=f（

4	2

x），然后綜合利用奇函數(shù)和增函數(shù)化簡(jiǎn)不等式，轉(zhuǎn)化恒成立問(wèn)題．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
則當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=（-x）^4₌x⁴
    又∵f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-x⁴，
綜上f（x）=

x4 ，x＞0 0 x=0 -x4 ，x＜0

（2）由（1）知x≥0時(shí)，f（x）=x^{4_，則}設(shè)g（x）=

x4+1， x≥0 1， x＜0

當(dāng)x＜0時(shí)，2x＜0，g（2x）=1，
        1-x＞0，g（1-x）=（1-x）⁴+1＞1，
        g（1-x）＞g（2x）成立；
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，2x≥0，1-x≥0，g（x）=x⁴+1單調(diào)遞增，g（1-x）＞g（2x）成立只需1-x＞2x⇒x＜

1

3

，則0≤x≤

1

3

；
當(dāng)x＞1時(shí)，2x＞0，g（2x）＞1，
        1-x＜0，g（1-x）=1，
        g（1-x）＞g（2x）不成立；
綜上可述，x的取值范圍為（-∞，0）∪（0，

1

3

）=（-∞，

1

3

）
（3）由（1）知f（x）=

x4， x≥0 -x4 x＜0

則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且2f（x）=f（

4	2

x），
不等式f（a-x）+2f（x）≤0化簡(jiǎn)如下：
2f（x）≤-f（a-x），
f（

4	2

x）≤f（x-a），

4	2

x≤x-a，
a≤（1-

4	2

）x，
即對(duì)任意的x∈[a，a+2]，不等式a≤（1-

4	2

）x恒成立
令h（x）=（1-

4	2

）x，1-

4	2

＜0，函數(shù)h（x）在x∈[a，a+2]單調(diào)遞減，當(dāng)x=a+2時(shí)取得最小值（1-

4	2

）（a+2），
則a≤（1-

4	2

）（a+2），解之得a≤2 

3

4

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于分段函數(shù)的處理．