Question

【題目】已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4
（1）若平面上有兩點(diǎn)A（1，0），B（﹣1，0），點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求使|AP|2+|BP|2取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QM，QN分別切圓C于M，N兩點(diǎn)，①若 ，求直線QC的方程；②求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)P（x，y），由兩點(diǎn)間的距離公式知：|AP|2+|BP|2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2．

又P為圓上的點(diǎn)，所以 ，∴（|AP|2+|BP|2）min=20

此時(shí)直線 ，由題意得： ，∴P的坐標(biāo)為

（2）解：①設(shè)Q（x，0），因?yàn)閳AC的半徑r=2，而 ，

則 ，

而|QN|=|QM|，△QMN為等邊三角形．

∴|QC|2=|QN|2+|CN|2=16，∴|QC|=4，所求直線QC的方程：x=3

② ，則M，N在以QC為直徑的圓上

設(shè)Q（a，0），則以QC為直徑的圓的方程：

即x2+y2﹣（a+3）x﹣4y+3a=0與圓C：x2+y2﹣6x﹣8y+21=0聯(lián)立得：﹣a（x﹣3）+3x+4y﹣21=0，

故無論a取何值時(shí)，直線MN恒過定點(diǎn)（3，3）

【解析】（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式，得到|AP|2+|BP|2的表達(dá)式，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）①確定|QN|=|QM|，△QMN為等邊三角形，即可求直線QC的方程；②x2+y2﹣（a+3）x﹣4y+3a=0與圓C：x2+y2﹣6x﹣8y+21=0聯(lián)立得：﹣a（x﹣3）+3x+4y﹣21=0，即可證明結(jié)論．