Question

11．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+3=x_n，x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），若x₁=1，x₂=a（a≤1且a≠0），則數(shù)列{x_n}的前2 016項的和S₂₀₁₆為1344．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，且x₁+x₂+x₃=1+1-a+a=2，由此能求出S₂₀₁₆．

解答 解：∵數(shù)列{x_n}滿足x_n+3=x_n，x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），
∴x₃=|a-1|=1-a，x₄=x₁=1，
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
并且x₁+x₂+x₃=1+1-a+a=2，
則S₂₀₁₆=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₆=672（x₁+x₂+x₃）=672×2=1344．
故答案為：1344

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列是周期數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．