Question

已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0，O為坐標原點
（Ⅰ）當m為何值時，曲線C表示圓；
（Ⅱ）若曲線C與直線 x+2y-3=0交于M、N兩點，且OM⊥ON，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)曲線方程滿足圓的條件求出m的范圍即可；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意OM⊥ON，得到

OM

•

ON

=0，利用平面向量數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，聯(lián)立直線與圓方程組成方程組，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個交點，得到根的判別式大于0，求出m的范圍，利用韋達定理求出y₁+y₂與y₁y₂，由點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在直線x+2y-3=0上，表示出x₁與x₂，代入得出的關(guān)系式中，整理即可確定m的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知：D²+E²-4F=（-2）²+（-4）²-4m=20-4m＞0，
解得：m＜5；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由題意OM⊥ON，得到

OM

•

ON

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0①，
聯(lián)立直線方程和圓的方程：

x2+y2-2x-4y+m=0 x+2y-3=0

，
消去x得到關(guān)于y的一元二次方程：5y²-12y+3+m=0，
∵直線與圓有兩個交點，
∴△=b²-4ac=12²-4×5×m＞0，即m+3＜

36

5

，即m＜

21

5

，
又由（Ⅰ）m＜5，∴m＜

21

5

，
由韋達定理：y₁+y₂=

12

5

，y₁y₂=

3+m

5

②，
又點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在直線x+2y-3=0上，
∴x₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，
代入①式得：（3-2y₁）（3-2y₂）+y₁y₂=0，即5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0，
將②式代入上式得到：3+m-

36

5

+9=0，
解得：m=

12

5

＜

21

5

，
則m=

12

5

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：根的判別式，直線與圓的交點，韋達定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及二元二次方程成為圓的條件，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．