Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，1），$\overrightarrow$=（cosx+sinx，-1）函數(shù)g（x）=4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)g（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的值域；
（2）若x∈[0，2016π]，求滿足g（x）=0的實數(shù)x的個數(shù)；
（3）求證：對任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x-4＜0對x∈（-∞，λμ）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)解析式，即可求函數(shù)g（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的值域；
（2）g（x）=0，可得x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，利用x∈[0，2016π]，求滿足g（x）=0的實數(shù)x的個數(shù)；
（3）分類討論，可得當x≤$\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=4-x的下方，由此證得結(jié)論成立．

解答 （1）解：向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，1），$\overrightarrow$=（cosx+sinx，-1），
∴函數(shù)g（x）=4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4sin2x．
∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin2x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴g（x）∈[2，4]；
（2）解：g（x）=0，可得x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∵x∈[0，2016π]，∴$\frac{kπ}{2}$∈[0，2016π]，∴k∈[0，4032]，
∴k的值有4033個，即x有4033個；
（3）證明：不等式g（x）+x-4＜0，即 g（x）＜4-x，
故函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．
顯然，當x≤0時，函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．
當x∈（0，$\frac{π}{12}$]時，g（x）單調(diào)遞增，g（$\frac{π}{12}$）=2，顯然g（$\frac{π}{12}$）＜4-$\frac{π}{12}$，
即函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．
綜上可得，當x≤$\frac{π}{12}$時，函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．
對任意λ＞0，一定存在μ=$\frac{π}{12λ}$＞0，使λμ=$\frac{π}{12}$，滿足函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，以及向量知識的運用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．