Question

已知函數(shù)f(x)=

e x

x 2   -ax+1

(a≥0)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的定義域對于f（x）只要分母不為0即可，注意對參數(shù)a進行討論；
（2）求出定義域后，對f（x）進行求導，求出極值點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；

解答：解：（1）當a∈[0，2）時，∵△=a²-4＜0，∴x²-ax+1＞0恒成立，
函數(shù)f（x）定義域為R，
當a=2，△=a²-4=0，函數(shù)f（x）定義域為（-∞，1）∪（1，+∞）
當a∈（2，+∞）時，∵△=a²-4＞0，
x²-ax-1=0的兩個根為x₁=

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

，且x₁＜x₂，
所以函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，x₁）∪（x₁，x₂）∪（x₂，+∞）
（2）f（x）=

ex(x2-ax+1-2x+a)

(x2-ax+1)2

=

ex[x2-(a+2)x+1+a]

(x2-ax+1)2

=

ex(x-1)(x-a-1)

(x2-ax+1)2

當a=0時，f′（x）=

ex(x-1)2

(x2+1)2

≥0，∴f（x）在R上的單調(diào)遞增；
當a∈（0，2）時，a+1＞1，∴f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增；
（1，1+a）單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增；
當a=2時，f′（x）=

ex(x-3)

(x-1)3

，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，3）單調(diào)遞減，（3，+∞）單調(diào)遞增；
當a∈（2，+∞）時，0＜x₁＜1＜x₂，
又對稱軸x=

a

2

＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，
∴x₂＜a+1，
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）單調(diào)遞增，（1，x₂），（x₂，a+1）單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增；

點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，還考查了分類討論的思想，這是高考的熱點問題；